Закон Гука

Суть закона Гука.

При растяжении и сжатии тела возникает сила, восстанавливающая его первоначальную форму. Она носит название силы упругости.

Схематично она выглядит так, как представлено на рисунке. Здесь в качестве примера показаны деформация тела при растяжении (где X ˃ 0) и деформация при его сжатии (Х ˂ 0) при воздействии нагрузки F. При малых деформациях сила упругости пропорциональна деформации и направлена в противоположную сторону перемещения частиц тела при воздействии нагрузки.

Таким образом утверждение того, что деформация, возникающая в упругом теле прямо пропорциональна силе упругости, возникающей в этом теле, называется законом Гука.

Закон выражается формулой F_упр = - k∆x, где:

• F_упр - сила упругости,
• k - коэффициент упругости (жесткости),
• ∆x - линейное изменение размеров тела.

Коэффициент упругости зависит от свойств материала и размеров упругого тела. Измеряется в Н/м или кг/м². Рассчитывается по формуле k = E*S/L, где

• k - коэффициент упругости,
• E - модуль Юнга,
• S - площадь поперечного сечения тела,
• L - длина тела.

Площадь поперечного сечения высчитывается по арифметическим формулам. Длина тела и его диаметр измеряется линейкой или штангенциркулем. Числовое значение модуля чаще всего берется из таблиц.

Модуль Юнга берется из таблиц, но иногда возникает необходимость его расчета. Проще всего это сделать по диаграмме напряжений, получаемой при испытаниях материала на растяжение.

Многовекторность закона Гука.

Закон работает при многих видах деформации. К основным относятся:

• Деформация сжатия;
• Деформация растяжения;
• Деформация изгиба;
• Деформация сдвига;
• Деформация кручения.

Деформация сжатия и растяжения.

Эти два вида деформации являются наиболее часто встречающимися.

Суть этих видов деформации раскрыта выше.

Деформация изгиба.

При этом виде деформации упругая сила пропорциональна прогибу стержня, концы которого лежат на двух опорах. Аналогичной деформации подвергаются пружины.

Числовое значение упругости высчитывается по формуле F_упр = -mg, где F и k величины векторные. Так же, справедливым считается утверждение F_упр = -kx.

По деформации изгиба вычисляется прочность элемента конструкции, позволяющая подобрать материал и размеры для ее изготовления.

Применяя закон Гука в расчете деформации изгиба, выбирается наиболее оптимальный материал при изготовлении стеллажей, опор для различных конструкций, несущих балок и швеллеров.

Деформация сдвига (среза).

При этом виде деформации происходит сдвиг отдельных слоев изделия в вертикальной или горизонтальной плоскостях.

Основной признак такой деформации заключается в сохранении постоянства объема, он всегда остается неизменным, независимо от направления воздействия силовых нагрузок. В качестве примера можно привести воздействие сил при отрезании металла, на места крепления мостовых пролетов, крепеж перемычек железнодорожных рельс.

Числовое значение деформации сдвига определяется по формуле τ = G*γ, где величина G называется модулем сдвига. Она характеризует жесткость материала при деформации сдвига. Модуль сдвига G и модуль упругости E зависимы между собой и определяется как G = Е/2(1 + μ), где μ – коэффициент Пуассона.

Чаще всего на сдвиг расчитываются материалы, предназначенные для соединения двух и более деталей в различных узлах.

Деформация кручения.

Возникает при повороте одного сечения вала относительно другого.

При кручении в поперечных сечениях возникает деформация сдвига. При расчетах деформации кручения определяются прочность и жесткость исследуемого вала (бруса). С этой целью используются специальные формулы. Заключительной частью расчета будет проверка соответствия τ = M_кmax/Wр ≤ [τ_к]. В конечном счете соответствие равенства позволяет сделать вывод о прочности будущей детали.

На деформацию кручения рассчитываются карданные валы автомобилей, оси шестерен, валы турбин и мнгие другие элементы и конструкции.

Подводя итог сказанному, необходимо отметить, что закон Гука применим только при малых деформациях, причем при пластических деформациях он не работает.

Область применения закона Гука.

Закон Гука является базовым в динамике и статике тел. Без его применения нельзя обойтись при расчетах жесткости и напряжения деформации элементов объектов. В первую очередь закон применяется в строительстве, машиностроении, сейсмологии, молекулярной механике. В науке нашел свое место в теоретической механике, физике, сопротивлении материалов (сопромате).

Закон Гука применяется в высокотехнологичных и технических устройствах. Силы упругости встречаются в различных амортизаторах, часовых механизмах, конструкциях, в которых применяются пружины, канатах.

Например, при использовании подъемных кранов в обязательном порядке нужно рассчитать его грузоподъемность, выбрать подходящий диаметр троса.

Для того чтобы в процессе эксплуатации не возникло разрушение узла или механизма, на сдвиг рассчитываются болтовые, сварные, заклепочные и другие виды соединений комплектующих его деталей.

В качестве практического применения закона Гука на практике рассмотрим расчет соединения заклепками.

В условном соединении требуется подобрать заклепки, обеспечивающие надежное соединение двух деталей.

Возьмем F = 10000 Н; σв = 400 МПа. Суммарная площадь сдвига (среза) 200 мм². Используя расчетные формулы для определения суммарной площади срезов (А_∑ = А₁*i*m и А₁ = А_∑ /(i*m)) и подставив в них заданные значения получим числовые значения для формулы А₁ = А_∑ /(i* m), преобразуя которую выходим на окончательный ответ - диаметр заклепок в данном соединении должен быть не менее 6,5 мм.